terça-feira, 21 de maio de 2013

A reta não possui raiz (topológica). Solucão.

Na postagem anterior, propusemos o seguinte problema.

Não existe um espaço topológico $X$ tal que $\mathbb{R}$ seja homeomorfo a $X\times X$.

Abaixo, segue a solução apresentada pelo leitor Rodrigo Mendes. Eu tinha prometido postar a minha solução, mas mudei de ideia!

Solução

Se um tal espaço $X$ existe, então $X$ deve ser de Hausdorff e conexo. Mais ainda, desde que $X$ é  homeomorfo ao subconjunto diagonal de $X\times X$,  o qual é  um fechado de $X\times X$, devemos ter $X$ homeomorfo a um intervalo fechado de $\mathbb{R}$. Absurdo pois $\mathbb{R}$ não é  homeomorfo a um produto de dois intervalos.

                                                                   Final da Solução

Antes de finalizar esta postagem, gostaria de agradecer a todos que comentaram na postagem anterior e observar que aquela discussão sobre raizes de grupos foi bem interessante. Em primeira mão anuncio que Rafael e Bill prometeram postagens sobre esse assunto; já estamos esperando! 






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